1) La structure interne

1) Pourquoi la Tour Eiffel a-t-elle cette forme ?

Introduction

Soit un immeuble ordinaire de 6 étages

Le plancher du 6ème étage supporte le poids de 1 étage

Le plancher du 5ème étage supporte le poids de 2 étages

Le plancher du Rez-de- chaussé supporte le poids de 7 étages

 

Or l'écrasement est donné par le quotient du poids supporté sur la suface 

donc, si on appelle P le poids d'un étage, on peut en conclure que l'écrasement varie de P/S au 6ème étage à 7P/S au rez de chaussée

 Plus le nombre d'étages augmente plus l'écrasement au sol est élevé donc l'immeuble admet une taille maximale.

 

Cas de la Tour Eiffel

Soit h une hauteur donnée.

 La forme de la Tour Eiffel est telle que plus on descend les étages ( plus h diminue), plus le poids P(h) à supporter est important  mais plus la surface S(h) augmente de telle sorte que

P(h)/S(h)= cte

Donc l'écrasement des matèriaux est le même partout.

Application : Montrons que le poids du troisième étage est négligeable par rapport à celui de la base.

Notons  L(h) la longueur du coté de la section carrée à la hauteur h de la tour

 La Tour a une hauteur telle que L(h0) au sommet (on prendra h0 le troisième étage) soit bien inférieure à L(O) à la base

On sait que  L(h0)= 18m et L(O)= 126m

Donc

(L(h0))/(L(O))=1/7

<=> S(h0) /S(O)= (L(h0))²/(L(O))²= 1/49≈ 1/50

Or S(h0)/ S(O)= P(h0)/ P(O) <=> P(h0)= 1/50 P(O)

 

Donc le poids du troisième étage est négligeable par rapport à celui de la base.

 

 

Poutres en treillis

La structure en treillis est tout le temps utilisée dans la structure de la Tour Eiffel. Cela a permis de l'évider, afin qu'elle soit plus légère tout en gardant une grande solidité. Chaque "tige" étant en fait une poutre en treillis à section carrée.

a) Structure plane

 

On solidarise la tige A à la tige B à l'aide d'entrecroisés. En effet la structure est ainsi plus solide. Si l'on place une masse m exerçant un poids P sur la tige A, l'ensemble ne va pas fléchir, car les composantes du poids de l'objet (représentées par les flèches rouges) vont se répartitr tout le long de la tige B.

 

b) Partie en section carrée

La structure vue précédemment est ensuite montée en grande "tige" de section carrée, afin que l'ensemble formé soit encore plus solide et que le poids se répartisse de façon encore plus efficace. 

 

 

 Poutres en H

En montant sur la Tour Eiffel, et donc en étudiant d'un peu plus près les différentes poutres constituant la tour, nous nous sommes aperçus que les poutres en treillis n'étaient pas les seules utilisées mais qu'il y avait des poutres en forme de H posées à la verticale comme nous l'indique le schéma ci-après :

 

Ces poutres peuvent être positionnées de deux façons, soit en I (comme est positionné la poutre ci-dessus) soit en H.

 

Nous nous sommes donc demandés lequel de ces deux cas était le plus solide.

 

 

On s'interresse à la déformation de la plaque vertcicale ( une grande plaque dans le cas I et deux étroites dans le cas II). On a dans les deux cas une déformation de CO identique.

 

 Comme la plaque 1 est plus large que les plaques 2 et 3, alors les extrémités CA etCB sont plus éloignées de Co ( CO étant la courbe moyenne) que CA' et CB'.

Donc on a, par interprétation du schéma, LCa< LCa'<LCb'< LCb

Donc LCb - LCa > LCb'- LCa'

La même déformation ( celle qu'on a représentée ci-dessus) est due aux forces F et F'

Or on a ΔL > ΔL' (Δ voulant dire la variation)

ce qui implique que F > F'

on en conclut donc que pour avoir une même déformation des plaques verticales, il faut une force d'intensité plus importante dans le cas de la poutre placée à la verticale. Il est donc plus interressant d'utiliser la poutre dans les mêmes conditions que dans le cas 1.

 

Remarque:  Les plaques 2 et 3 sont nécessaires à la plaque 1, car sans elles, elle se déformerait. De plus, elles sont très fines, donc leur présence donne des variations de longueur négligeable et au contraire elles participent à la résistance à la flexion.

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